Вопросы теоретической геологии. 9. Некоторые морфологические свойства зёрен в рыхлых осадочных породах

Вопросы  теоретической геологии.

9. Некоторые   морфологические  свойства зёрен в  рыхлых осадочных  породах.

В.П. Макаров, А.В.Сурков.
Российский государственный геологоразведочный университет, г. Москва
 
Продолжены исследования морфологии зёрен в рыхлых осадочных породах, начатые в [3]. Объекты изучения - современные осадки, опробованные в локальных точках (единичные пробы) россыпей и современных русел [р. Угра и р. Воря (Калужская обл.), Тарская россыпь (Зап. Сибирь), береговой зоны северной части оз. Чудского], и древних бассейнов России [алексинская свита C1al(v) и девон Русской платформы (Новгородской и Ленинградской обл.)] и Африки (девон, Гвинея, Гуаль).
Изучались пробы с зернами песчано-алевритовой размерности, предварительно отмученные и освобожденные от гравийно-галечной компоненты. Пробы разделялась на фракции мономинеральные и по степени окатанности (неокатанная (НО), полуокатанная (ПО), окатанная (ОК)). В пробах имеются (изредка до 100%) угловато-окатанные зёрна, т.е. расколотые окатанные зёрна, говоря о процессах вторичного дробления. В единичных фракциях определялась форма зерна, отмечено наличие призм, эллипсов, клиньев. В каждой фракции измерялись размеры зёрен (в мм) по осям А, В, С по [4]. Отбор проб и все измерения размеров зёрен проводились А.В. Сурковым, обработка результатов измерений и интерпретация – В.П. Макаровым. Изучено 30 единичных проб, охвативших около 7000 зёрен кварца Qw и 5000 зерен других минералов. Рассчитывались П/3 (П= А + В + С- виртуальный периметр зерна [3]), отношения В/А и С/А, средневзвешенные значения Аср, Вср, Сср, Пср/3; строились размерные диаграммы (РД) В=kBA + KB, C= kCA + KC и П/3 = kПАKП. Типичный пример РД - рис.2, 3. Параметры kB и kC обобщают отношения В/А и С/А, причем maxkB = maxkC = 1.
        Показатель П/3 (среднеарифметическое значение параметров зерна) играет роль критерия принадлежности зёрен к типоморфному множеству зёрен. Он опирается на признак Коши, по которому среднее геометрическое значение меньше или равно среднеарифметическому значению величины. Полное равенство будет при равенстве размерных параметров, характеризующих, например, сферу или в меньшей степени куб. Но чем бóльше параметры зёрен отличаются друг от друга, тем бóльше различие между этими средними. В таб.1 приведен фрагмент выборки кварца из береговой зоны оз. Чудское. Сопоставление показывает наличие различий между этими средними.
 
Таблица 1. Сравнение значений среднеарифметических
и среднегеометрических величин размеров зерен кварца.
Образец
A
B
C
П/3
ср.геом.
1
0,41
0,4
0,17
0,327
0,303
2
0,27
0,25
0,11
0,210
0,195
3
0,52
0,48
0,23
0,410
0,386
4
0,31
0,28
0,19
0,260
0,255
5
0,67
0,59
0,29
0,517
0,486
 
 
 
 
 
 
Сопоставление (таб.1) показывает, однако, недостаточную чувствительность метода, поэтому применён несколько иной метод. В качестве эталона взят куб, ребро которого равно А и которое есть среднее геометрическое значение. Чем бóльше размеры зерна отличаются от А, а, значит, форма зерна отличается от кубической, тем бóльше различие между средними арифметическим и геометрическим. Методически эта оценка осуществляется проведением сравнения величин А и П/3.
 Индекс окатанности J= ОК/(НО+ ПО) говорит об относительной степени окатанности; но он обладает недостатком: у него отсутствует верхняя граница в том смысле, что если (НО+ПО) 0, то Jæ (бесконечность). Поэтому использовалось другое выражение этого индекса – JОК= ОК/(НО+ ПО+ ОК); в этом случае 0 ≤ JОК  ≤ 1. Выявлены следующие особенности поведения зерен минералов.
 
Поведение зёрен кварца.
Таблица 2. Результаты измерений размеров зёрен кварца.
№№ п.п.
№№ пробы и измерения
Oкатан-ность
Размеры по осям
П/3
 
B/A
 
C/A
 
A
B
C
1
Чудо-2-1
НО
0,68
0,51
0,32
0,503
0,750
0,471
2
Чудо-2-2
НО
0,45
0,41
0,37
0,410
0,911
0,822
3
Чудо-2-3
НО
0,67
0,44
0,21
0,440
0,657
0,313
4
Чудо-2-4
НО
0,49
0,37
0,25
0,370
0,755
0,510
5
Чудо-2-123
ОК
1,25
1,12
0,79
1,053
0,896
0,632
6
Чудо-2-124
ОК
0,4
0,39
0,19
0,327
0,975
0,475
7
Чудо-2-125
ОК
0,63
0,45
0,31
0,463
0,714
0,492
8
Чудо-2-126
ОК
0,54
0,43
0,32
0,430
0,796
0,593
9
Угра-1
ОК
0,22
0,1
0,05
0,123
0,455
0,227
10
Угра-2
ОК
0,33
0,17
0,08
0,193
0,515
0,242
11
Угра-3
ОК
0,14
0,13
0,04
0,103
0,929
0,286
12
Угра-4
ОК
0,25
0,19
0,1
0,180
0,760
0,400
13
Угра-65
НО
0,34
0,2
0,14
0,227
0,588
0,412
14
Угра-66
НО
0,07
0,02
0,02
0,037
0,286
0,286
15
Угра-67
НО
0,27
0,12
0,06
0,150
0,444
0,222
16
Угра-68
НО
0,1
0,08
0,07
0,083
0,800
0,700

    В таблице 2 приведены фрагменты измерений размеров зёрен кварца Qw. Для сравнений, во-первых, использованы данные для неокатанных и окатанных зёрен, а во-вторых, из береговой зоны северной части оз. Чудского и современных аллювиальных отложений р. Угра.

На рис.2 приведены размерные диаграммы по кварцу. Они показывают, что все зёрна кварца не зависимо от степени окатанности имеют различные размеры по осям. Хотя и редко, но выявляются зёрна с А = В или В = С (соответственно 7,3% и 0,3%, причём в последнем случае равенство получено на пределе чувствительности измерения), но нет зёрен с А = В = С.
В табл. 4 приведены фрагменты сводных данных по средним значениям размерных параметров. Согласно им размер неокатанных зёрен по осям А, В и С всегда меньше размеров окатанных зёрен. Это иллюстрируется рис. 1. На рис. 2 показано более детальное распределение размерных параметров зёрен кварца в зависимости от степени

 

Рис. 1. Сопоставление размеров окатанных и неокатанных зёрен по осям. ●- отложения девона; ㅿ- отложения C1al(v); ○ - современный аллювий.

Рис.2. Распределение размерных параметров в зависимости от степени окатанности кварца.

 Таблица 3. Числовые характеристики распределений размерных параметров

 

Степень окатаннос.
Системы координат
B= dA + D
Системы координат 
C= dA + D
d
D
d
D
Неокат
А, В
0,7342
0,0007
А, С
0,4561
-0,0164
Полуокатан
А, В
0,7529
0,00009
А, С
0,5593
-0,0519
Окатанные
А, В
0,8052
-0,0164
А, С
0,5999
-0,0645
окатанности. Числовые параметры этих распределений приведены на  рисунках и в таб.3. Согласно этим данным намечается четкая связь числовых характеристик и окатанности минерала. Она проявляется в росте величины d с ростом окатанности, величина D уменьшается в этом же направлении. Это хорошо видно на рис. 3 (приведены компенсационные прямые).
Рис.3. Компенсационные диаграммы по количественным характеристикам размерных параметров
Рис. 4. Характер распределения размерных параметров зёрен кварца из современного аллювия р. Угра.
 
Можно отметить: 1) сохранность неокатанных зерен. По одной из гипотез мелкие зёрна плохо окатываются в связи с тем, что для них большую роль
начинает играть вязкость воды, препятствующая эффективному ударному воздействию на зерно. 2) Характер совместного присутствия НО- , ПО- и ОК- зёрен. Причина- неокатанность зёрен увеличивает площать поверхности зерна и сопротивления лобовое и трения, создавая дополнительное воздействие потока на зерно. В связи с этим параметры распределений из размерных диаграмм (рис. 2 и 3) отражают относительное изменение величины этих сопротивлений.
Выявлена высокая дисперсия распределения точек на РД, вызывающая пониженные значения коэффициентов корреляции R2 (рис.4). В то же время на диаграммах (А,П/3) дисперсия распределения точек сильно уменьшается, ведя к росту величины R2. В качестве примера в табл. 4 приведён фрагмент результатов расчёта зависимостей между величинами А, В, С и П/3. Из табл.4 видно, что всегда RП2>(RB2, RC2); обычно RП2> 0,9. Причина: П/3 - это среднее арифметическое значение размерных параметров, а как известно, ошибка среднего всегда меньше ошибки единичного измерения.
Таблица 4. Фрагмент сводных данных
                             по средним значениям размерных параметров.
Место отбора
окатан-ность
Кол-во измер.
Размеры зёрен
Пср/3
 
Aср
Bср
Cср
C1al(v)
 
 
ОК
36
0,401
0,294
0,137
0,277
ПО
56
0,394
0,302
0,152
0,283
НО
118
0,095
0,071
0,030
0,065
 
р. Угра
Современ-
 ные осадки
ОК
70
0,402
0,307
0,171
0,293
 
ПО
67
0,290
0,210
0,138
0,213
 
НО
138
0,183
0,135
0,084
0,134
 
 р. Угра
Современ-
 ные осадки 
ОК
35
0,484
0,355
0,213
0,351
 
ПО
53
0,526
0,388
0,246
0,387
 
НО
40
0,216
0,159
0,091
0,155
 
оз.Чудское
 
 
ОК
107
0,502
0,391
0,245
0,380
 
ПО
204
0,552
0,417
0,268
0,412
 
НО
50
0,439
0,327
0,204
0,324
На диаграммах (А,П/3) все точки почти строго ложатся на единую общую прямую, описываемую уравнением П/3 = kПА +KП (рис.4; табл.5). Поэтому относительное отклонение размеров зёрен от А практически одинаковое и отражается величиной kП. Составляющей отклонения, в основном, является параметр В, поэтому это отклонение отражает степень уплощённости зёрен, а параметр kП обобщает это отклонение и назван индексом уплощённости. Таким образом, для всех зёрен конкретной пробы индекс уплощённости является постоянным. Установлена теорема: если распределения размерных параметров описываются уравнениями  В=kBA + KB, C= kCA + KC и П/3 = kПАKП, то kП = (1+ kB+ kC)/3 и KП = (KBKC)/3. Доказательство: эти уравнения можно записать столбцом и сложить, тогда (А + В + С) = А (1 + kB+ kC) + (KB+ KC). Сопоставив эти выражения с уравнением для П/3, получаем искомые соотношения.
Таблица 5. Результаты зависимостей между размерными параметрами.

 

 объект
 
 
B = dA + D
 
C = dA + D
 
П/3= dA+ D
 
 
 
N
d
D
RВ2
d
D
RС2
d
D
RП2
оз.Чуд-
ОК
107
0,657
0,062
0,830
 0,513
-0,012
0,767
0,747
0,005
0,943
ское
ПО
204
0,692
0,035
0,817
0,425
0,030
0,629
0,707
0,020
0,933
 
НО
50
0,652
0,041
0,813
0,491
-0,011
0,794
0,714
0,010
0,956
Угра
ОК
56
0,612
0,047
0,891
0,310
0,052
0,720
0,641
0,033
0,966
 
ПО
146
0,625
0,037
0,907
0,361
0,031
0,776
0,662
0,023
0,972
 
НО
63
0,646
0,022
0,905
0,467
-0,014
0,813
0,705
0,003
0,965
C1al(v)
ОК
26
0,624
0,042
0,680
0,307
0,014
0,452
0,644
0,019
0,893
 
ПО
34
0,691
0,023
0,829
0,222
0,021
0,503
0,638
0,015
0,947
 
НО
83
0,607
0,026
0,812
0,336
0,000
0,655
0,648
0,009
0,946

 Рис.5. Характер распределения средних значений размерных параметров по всем зернам кварца.

 Для кварцев всех фракций по Аср, Вср, Сср, Пср/3 построены РД (рис.5). На всех РД отмечаются высокие значения величины R2 и очень малые дисперсии распределений точек.

Рис.6. Взаимные связи между отношениями размерных параметров
 

Поведение зёрен других минералов.

 

                Таблица 6. Соотношения между минералами в осадках.

 
Минерал
Кол-во зёрен
% от суммы
Гранит по[1]
Дистен
43
0,420
0,69
Эпидот
174
1,700
330,6
Пироксен 
250
2,442
 
Турмалин
267
2,608
17,8
Магнетит
307
2,999
2850
Ставролит
417
4,073
0,71
Циркон
472
4,611
133,7
Рутил
478
4,669
6,84
Ильменит
850
8,303
481,9
Гранат
1105
10,79
108,3
Кварц
5874
57,38
 
Всего
10237
100
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Между отношениями B/A и C/A во всех формах нет корреляционной связи. Однако, между величинами n(B/A) и n(C/A) имеется чёткая прямая корреляционная зависимость. Все эти соотношения приведены на рис. 6. Средневзвешенная величина всех значений отношений описывается последовательностью
A/A: B/A: C/A = 1: 0,743: 0,361,
приводящая к ряду
A/A: B/A: C/A»1(=5/5): 3/4:1/3
с общим членом
[2(k-n)+1]/(2k-n),
k- длина, n= 1, 2, 3-номер члена ряда.
        Измерены размерные параметры зёрен апатита, граната Gr, диопсида Dio, дистена Dis, ильменита Ilm, лейкоксена, магнетита Mt, марказита, монацита, пироксенов (черные (авгит?), зелёные (диопсид?)), рутила Rut, ставролита Stav, турмалина Tur, циркона Zr, эпидота Ept. Эти минералы можно рассматривать как компоненты «раствора», «растворителем» является кварц. Соотношения «растворённых» частей колеблются в широких пределах. Если взять общую распространённость, то соотношения между фазами «растворения» отражены в табл.6. Для сравнения выписаны и характеристики (г/т) распространённости акцессориев в гранитоидах по [1, таб.78]. Намечается отсутствие соответствия в распростанённости минералов в россыпях и гранитоидах. Возможно, это связано с тем, что изучались не вообще рыхлые отложения, а россыпи, т.е. рыхлые отложения, обогащённые каким- то компонентом (ильменит и пр.). Так же как и для кварцев строились все зависимости. На рис. 7 приведены  примеры этих распределений. Установлено, что все свойства распределения размерных параметров для этих минералов такие же, как и для кварца. Отличие чаще всего заключается в том, что в координатах (А, В, С) прямые линии больше наклонены, иногда (циркон) величина k < 0. На рис. 8 приведены сводные диаграммы для всех «растворённых» минералов, а на рис. 9- сводная диаграмма для кварца и «растворённых» минералов. Эти данные показывают, что размерные параметры для кварца и «растворённых»  минералов практически одинаковые.
Окатанность зёрен является следствием интенсивности проявления физического метаморфизма [2]. Результаты изучения явления отражены в табл.6. Эти данные показывают относительно низкую степень окатанности. Наибольшее значение окатанности выявлено у эпидота (41%). В литологии, исходя из общих соображений, считается, что окатанность зависит не только от дальности переноса, но и от твёрдости минерала. Полученные данные позволяют проиллюстрировать это утверждение.

 

Рис. 7. Распределение размерных параметров
окатанных зёран ильменита аллювиальных отложений р. Угра
Рис.8. Сводные диаграммы распределения размерных параметров
для «растворённых» минералов.

                                          

Рис.9. Сравнительная диаграмма распределения
размерных параметров для кварца и «растворённых» минералов.
На рис. 10А приведена связь окатанности с твёрдостью. Выявлено, что чем мягче минерал, тем лучше он окатан. На рис. 10Б приведена зависимость окатанности зёрен от плотности минерала. Здесь выявляются две тенденции с общим, однако, свойством: чем легче минерал, тем он лучше окатан.
      Полученные данные позволяют выделить два этапа образования
        Таблица 7. Распределение минералов по величине окатанности зёрен (интенсивности физического метаморфизма) 
Минералы
НО
 
ПО
 
ОК
 
УО
 
Кол-во
объектов
JОК
 
%ОК
 
ρ
 
H
 
Дистен
 
30
 
13
2
0,00
0,00
3,61
4
Магнетит
210
91
6
 
2
0,02
1,95
5,17
6
Пироксен
110
97
17
26
4
0,08
7,59
3,3
5,75
Гранат
500
442
62
101
4
0,07
6,18
3,7
8
Циркон
190
209
50
23
4
0,13
11,14
4,7
7,5
Кварц
2405
1747
1011
711
31
0,24
19,58
2,65
7
Ставролит
40
206
62
109
2
0,25
20,13
3,7
7,25
Турмалин
44
138
85
 
3
0,47
31,84
3,2
8
Ильменит
220
312
300
18
4
0,56
36,06
5
5,5
Рутил
92
169
160
57
5
0,61
38,00
4,25
6,25
Эпидот
8
95
71
 
3
0,69
40,80
3
6,5
Примечание: ρ- плотность минералов, г/см3. Н - средняя твёрдость по Моосу. JОК – индекс окатанности. Графа 6 характеризует число объектов, в которых минералы изучены, а не найдены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

морфологических особенностей зёрен минералов. В первый, ранний этап происходила первичная обработка зёрен с формированием общей морфологии зерна, отражённой на рис. 5, 9. Все зёрна относятся к одной типоморфной группе – группе призмоидов [2]. Природа ее не ясна. Возможно, эти зависимости характеризуют первичный этап переноса зёрен. В этом случае вероятным механизмом является перекатывание зёрен в потоках по дну русла, поскольку только в этом случае возможно формирование симметрии преимущественно около одной оси. После этого зёрна, попадая в нынешнюю литодинамическую систему, приобретали современный облик, отражённый на рис. 4, 7, 8. Поскольку изучены минералы с различными кристаллическими параметрами (от моноклинного эпидота до кубического граната), то результаты исследований показывают, что эти различия слабо влияют на морфологию зёрен в осадках.

Рис. 10. Зависимость окатанности зёрен от А) твёрдости и
                                Б) плотности минерала.
 
Проведённое изучение песчаных осадков не касалось гравийно- галечной компоненты. Это необходимо признать методической ошибкой, поскольку оказалась не ясной связь этих составных частей осадков. Результаты работ показали, что между этими компонентами осадков различие не только в размерных параметрах, но имеется более существенное. Независимо от состава песано- алевритовых отложений (чистые кварцевые пески, аркозы, граувакки и пр.) они являются мономинеральными образованиями в том смысле, что каждое зерно этого осадка сложено преимущественно минералами, и только изредка отмечаются породы. Поэтому их можно назвать минакластические (мина- сокращённо от минал). В то же время зерна гравийно – галечной размерности практически полностью сложены различными породами, и только изредка в приграничных областях (грубозернистые песчаники – мелкая дресва, галька) отмечается смешанный состав. Поэтому зерна гравийно- галечной размерности можно назвать литокластическими.
Это вещественное различие накладывает отпечаток и на морфологию зерен. Последняя в литокластических зёрнах во многом зависит от состава породы. В породах с изотропными характеристиками (граниты, другие изверженные и лавовые породы) форма зёрен приближается к изометрической (сферической); в породах с анизотропными свойствами (слоистые осадочные породы, сланцы и пр.) форма зерен приближается к трёхмерныи уплощенным эллипсоидам. По крайней мере в литокластических осадочных породах количество изометрических зёрен и зёрен, приближающихся к ним, возрастает. Это позволяет высказать гипотезу о возможной прямой зависимости степени уплощённости от размера зерна, т.е. с ростом размера зерна, например по оси А, тем ближе значение k к единице. Описанные выше материалы позволяют проверить эту гипотезу. Для этого строим диаграмму в координатах (A, kB) или (A, kC). Одна из таких диаграмм для функции В= kBA + KB приведена на рис. 11. Из этой диаграммы следует обратная зависимость между этими параметрами, т.е. чем крупнее зерно,
 
 
Рис.11. Зависимость между размером зерна А и степенью уплощённости kB.

тем более оно уплощено. Этот результат отрицает гипотезу и говорит о том, что из функции k = f(A) для минакластических зёрен не следует функция k = f(A) для литокластических зёрен. Это говорит и о разрыве непрерывности между свойствами зерен обеих групп.

 Система компенсации.

При изучении зёрен выявилось много свойств в их распределении, которые пока не имеют физического объяснения. Тем не менее мы считаем необходимым сообщить о них, чтобы читатель смог независимым путём
решить эти задачи. К этим свойствам относится и явление компенсации, ранее  изученное на геохимических полях [5, 6]. Его суть состоит в том, что если имеется несколько прямых вида Y = aiX + Ai, то при определённых условиях параметры ai и  Ai связаны линейным уравнением A = ga + G. В строго геохимических полях это уравнение отражает смешение компонентов, в других случаях (диффузия, температурные уравнения и пр.) их физический смысл не ясен. Подобная ситуация сложилась и размерными параметрами зёрен. Одна из компенсационных диаграмм приведена на рис. 3. На рис. 12 приведены компенсационные диаграммы для уравнений В=kBA + KB(система (А,В)) и C= kCA + KC (система (А,С,)). Согласно этой диаграмме в обоих случаях параметры этих уравнений связаны линейными зависимостями, физический смысл которых не ясен.
 
Рис. !2. Компенсационные диаграммы
распределений размерных параметров
 
Заключение.
Проведённые исследования охватили большой фактический материал по распространённости зёрен широкого круга минералов в рыхлых осадочных образованиях значительных географической распространённости и временного интервала. Генетически они связаны с аллювиальными образованиями и береговыми зонами озёр. Установлено, что все зерна не зависимо от минерального состава имеют облик призмоидов, в которых А ≠ В ≠ С. Соотношения вида А = В = С очень редки. Эти выводы были сделаны ещё в [4], здесь они получили дополнительное подтверждение. Это позволяет говорить о наличии определённого закона в формировании общей морфологии зерна. Отсюда же следуют и некоторые практические следствия. Зёрна сферической формы являются экзотическими образованиями, для которых необходим самостоятельный анализ условий образования.
1. Фактическое отсутствие изометричности говорит о не приемлемости использования ситового анализа для гранулометрической характеристики зёрен. Ситовой анализ даёт не верные, искажённые соотношения между гранулометрическими классами зёрен, поскольку метод «ситовой анализ» расчитан на изометрическую форму зёрен.
2. Эти данные свидетельствуют о значительной анизотропии во внутреннем строении горизонтов (слоёв) рыхлых осадочных образований и возможности использования для ее изучения геофизических методов. Для россыпей с магнитными минералами это может быть микромагнитная съёмки, для россыпей с тяжелыми минералами (золото и др.) микрогравиметрическая съёмка. Для осадков с нормальными по плотности минералами - различные электрические методы с малым шагом измерения.
 
Дополнение.
I. В работе [3] были введены относительные размеры зерен вида А*, В* и С* причём А* = А/П, В* = В/П, С* = С/П, где П = А + В + С. Поскольку нормальные параметры связаны часто исходными соотношениями В=kBA + KB, C= kCA + KC , то   близкие соотношения могут быть и между параметрами А*, В*, С*, выражаясь через зависимости В*=kB*A* + KB*, C*= kC*A* + KC*. В этих уравнениях (основные свойства) (kB* + kC* + 1) = 0, (KB+ KC*) = 1 (или 100%, если А*, В* и С* представлены в %). Выразим kB* и kC* через kB и kC.
Преобразуем исходные соотношения:
В/П=kBA/П + KB/П, C/П= kCA/П + KC/П, т.е. имеем
В*=kBA* + KB/П, C*= kCA* + KC/П.
Объединив эти выражения путём удаления свободных членов, получаем
B*KB – C*KC = A*(kBKC – kCKB).
Преобразуем это уравнение:
1)    (1 – A* - С*)KB – C*KC = A*(kBKC – kCKB);
2)    B*KB – (1- A* - B*)KC = A*(kBKC – kCKB).
Расскрывая выражения, в конечном счёте, получаем:
в первом случае –  С*(KB+KC) = KВkСKС(kВ+1)А* + KС,
          во втором - B*(KB+KC) = KCkBKB(kC+1)А* + KB,
откуда
           KCkB – KB(kC+1)                      KB
kB* =   --------------------;       KB* = -----------;
               (KB+KC)                           (KB+KC)
 
           KВkС – KС(kВ+1)                      KС
kС* = ---------------------;       KС* = -----------.
               (KB+KC)                           (KB+KC)
Эти значения угловых коэффициентов соответствуют их основным свойствам.
II. Четырёхкомпонентная система представлена элементами: A, B, C, D,
причём А + В + С+ D= П; они связаны соотношениями В=kBA + KB, C= kCA + KCб, D = kDA + KD. Имеем также относительные параметры системы А* = А/П, В* = В/П, С* = С/П, D* = D/П, связанные соотношениями В*=kB*A* + KB*, C*= kC*A* + KC*, D* = kD*A* + KD*. Здесь также имеют место основные свойства – (kB* + kC* + kD* + 1) = 0; (KB* + KC*+ KD*) = 1.
Между этими уравнениями установлены связи вида:
          B*(KB + KC + KD) = -A*[KB + KB (kC + kD) – kB(KC + KD)] + KB;
          C*(KB + KC + KD) = -A*[KC+ KC (kB + kD) – kC(KB + KD)] + KC;
          D*(KB + KC + KD) = -A*[KD+ KD (kB + kC) – kC(KB + KC)] + KD.
 
Литература
1. Ляхович В.В. Акцессорные минералы в гранитоидах Советского Союза. М.: Наука, 1967. 447с.
2. Макаров В.П. Вопросы теоретической геологии. 4. К определению понятия «обломочные породы»./ Мат-лы международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития. `2007». Т.16. Одесса: Черноморье, 2007. С.20- 27.
3. Макаров В.П. Вопросы теоретической геологии.5. О форме зёрен в аллювиальных отложениях./Материалы междунар. научно-практич. кон-ции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития. `2007». Т.16. Одесса: Черноморье, 2007. С. 28-38.
4. Сурков А.В. Методика грануло-минералогического анализа при изучении
обломочных пород. //Изв. ВУЗ. Сер. Геология и разведка, 1993. №3. С. 36- 43.
5. Макаров В.П. «Явление компенсации – новый вид связи между геологическими объектами./ Материалы I Международной научно-практической конференции «Становление современной науки – 2006». Т.10, Днепропетровск, Наука и образование, 2006. С.85- 115.
6. Макаров В.П. «Уравнения компенсации» - новый метод изучения петрохимических особенностей высокотемпературных образований (на примере биотита)./Материалы Всероссийского совещания «Геохимия, петрология, минералогия и генезис щелочных пород». Миасс: изд. ИМин УрО РАН, 2006. С.137-139.

Примечание: Источник- Макаров В.П., Сурков А.В. Вопросы  теоретической геологии. 9. Некоторые   морфологические  свойства зёрен в  рыхлых осадочных  породах.  //Международная научно-практическая конференция «Современные направления теоретических и прикладных исследований.» //Одесса: Черноморье, 2008, Т.23. С.32-44.